本节主要介绍了利用FFT进行频谱分析以及滤波器结构

应用FFT分析信号频谱

1.谱线与实际频率的关系

DTFT的幅频特性是以$w$数字角频率$2\pi$为周期的函数
而DFT的幅频特性的横坐标是$0\sim N-1$，故其共有$N$个点
数字角频率和模拟角频率的关系为$w\times f_s=\Omega$
故$w=2\pi$就对应模拟频率$f_s$，就对应第$N$个点，即第$N$个点所对应的实际频率就是$f_s$
- 这么分析看似没问题吧，但是，有个问题是DFT的横坐标$k$，只能取$0\sim N-1$，$k=0$的点占了一个零频，故即使点与点之间的频率间隔是$\frac{f_s}{N}$，那么最终能取到的最大频率只能是$\frac{(N-1)}{N}\cdot f_s$
故谱线与实际频率的对应关系为：
$$
f_0=(N_i-1)\cdot \frac{f_s}{N}
$$
- 其中，$N_i$代表第$i$个点，而第$N_i$个点有$N_i-1$个频率间隔

借助MATLAB程序加深理解

clc;clear all;

fs=1000;
N=500;
xn=0:(N-1);
t=xn/fs; %这里的t代表信号长度，而1/t也决定了实际分辨率

f0=0;
f1=2;
f2=680;
s=cos(2*pi*f0*t)+cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
s_fft=abs(fft(s,N));
stem(xn,s_fft);

结果如下：
- 根据上述公式，通过计算得到$f_0,f_1,f_2$对应第1，2，161个点，那么对应的$k$值为0，1，160（这里用1000-680KHz的频率去计算）
- 从上述结果也能很明显的看出$x(k_0)=x(N-k_0)$（这个结论对$f_0=0$不适用）
- 同时，也可以得出$k=0$这一点确实对应着零频

2.栅栏效应与实际分辨率

栅栏效应：就是真实频率落在了点与点之间的缝隙里，补零操作可以缓解栅栏效应
实际分辨率：
$$
d_f=\frac{f_s}{N}
$$

借助MATLAB程序加深理解

clc;clear all;

fs=100;
N=100;
xn=0:(N-1);
t=xn/fs; %这里的t代表信号长度，而1/t也决定了实际分辨率

f0=10;f1=11;
s=sin(2*pi*f0*t)+sin(2*pi*f1*t);
xn=xn/N*fs;%此时xn横坐标为实际频率
s_fft=abs(fft(s,N));
s_zero_fft=abs(fft(s,2*N));

figure(1);
subplot(211);
plot(xn,s_fft);
title("N=500 FFT")
xlabel('f/Hz')
ylabel('Amp')
grid on;
subplot(212);
plot([0:199]/200*fs,s_zero_fft);
title("N=500 padding=500 FFT");
xlabel('f/Hz')
ylabel('Amp')
grid on;