数字信号处理之时域处理

本节主要介绍了数字信号处理中的一些时域上的处理，包括序列信号的线性时不变系统、线性卷积、Z变换等

数字信号的理解

• 模拟信号：时域连续和幅度连续
• 数字信号：时域和幅度均离散
• 时域连续信号：时域连续、幅度连续或离散
• 时域离散信号：时域离散、幅度连续或离散
• 时域离散就意味着：
  • $x[n]$中$n$一定要是整数
• 幅度离散并不要求幅度值一定是整数，只要是有限的状态值就可以了

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序列的基本概念

1.任何序列都可以用单位样本序列$\delta (n)$来表示

$$x(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)\delta(n-m)$$

2.正弦序列的周期性

• 正弦序列$sin(mn)$不一定是周期信号

• 若想要$sin(mn)$为周期信号，那么需满足

  $$sin(mn)=sin[m(n+N)](N只能是整数)$$

• 则需满足：

  $$mN = 2\pi k$$ $$N=\frac{2\pi k}{m}$$

• 而$N$需满足为整数，$k$也是整数，那么只有当$m$为$\pi$的倍数时，N才是整数，此时正弦序列$sin(mn)$才是周期信号

3.数字域频率

• 数字域频率为：

  $$w_0=\Omega_0T_s=\frac{\Omega_0}{f_s}=2\pi\frac{f_0}{f_s}=\frac{2\pi}{N}$$ $$其中:\Omega_0为模拟角频率(rad/s),\quad w_0为数字角频率(rad)\\ T_s为采样间隔(s),\quad f_s为采样频率(Hz),\quad f_0为模拟频率(Hz)\\ N=T_0\times f_s,其中T_0为原始模拟信号的周期$$

• 推导过程：

  • 连续时间正弦信号：$x_a(t)=cos(\Omega_0t+\phi)$
  • 令$t=nT$，$T$为采样间隔
  • 则$x_a(t)|_{t=nT}=cos(\Omega nT+\phi)=x_a(nT)$
  • 将$x_a(nT)$简记为$x(n)$
  • $\Omega_0 T$记为$w_0$
  • 则离散时间正弦序列为：$x(n)=cos(w_0n+\phi)$

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线性时不变系统

• 线性特性：
  • $x(n)$做为一个整体只能是一次方，可以对$x(n)$乘以其它值；不能出现完全与$x(n)$无关的项；$x(n)$中的自变量$n$可以任意变换；
  • 线性是针对$x(n)$来讨论的
• 时不变特性：
  • n必须作为$x(n)$（不能对$x(n)$乘以带$n$的系数，比如$sin(wn)$）中的自变量，不能对$n$进行乘法运算，可进行加减常数运算
  • 时不变是针对$n$来讨论的
• 线性时不变特性：
  • $FIR$滤波：$y(n)=b_0x(n)+b_1x(n-1)+…b_rx(n-r)$的形式，其中$n-1,n-2..$也可为$n+1,n+2..$
  • $IIR$滤波：$y(n)+a_1y(n-1)+…=b_0x(n)+b_1x(n-1)+…b_rx(n-r)$的形式（需要满足$y(n)=0,n<0$）
• 对于线性时不变系统因果稳定性的判定：
  • 因果性：$h(n)=0,n<0$
  • 稳定性：$\sum|h(n)|<\infty$
• 系统的作用不过是改变正弦信号的幅度和相位

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线性卷积

• 首先，定义系统对输入是单位脉冲序列的响应为单位脉冲响应，即：

  $$输入\delta (n)\rightarrow 输出h(n)$$

• 其次，我们知道，任何一个序列信号都可以由单位脉冲序列表示，即：

  $$x(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)\delta(n-m)$$

• 此外，对于一个线性系统：

  $$\because \delta(n)\rightarrow h(n)\\ \therefore a\delta(n)\rightarrow ah(n)\\ \therefore a\delta(n-n_0)\rightarrow ah(n-n_0)$$

• 那么$y(n)$就是$x(n)$经过线性系统的结果：

  $$\because x(n)=\cdots x(-1)\delta(n+1)+x(0)\delta(n)+x(1)\delta(n-1)+\cdots\\ \therefore y(n)=\cdots x(-1)h(n+1)+x(0)h(n)+x(1)h(n-1)+\cdots$$

• 所以最终$y(n)$的结果是：

  $$y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)$$

• 而我们称卷积为：

  $$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)$$
  • 其中，$*$称为卷积运算
  • 卷积满足交换律：$x(n)h(n)=h(n)x(n)$

• 所以系统输出$y(n)$就是输入$x(n)$与单位脉冲响应$h(n)$的卷积结果

1.卷积的意义

• 卷积是系统的工作方式：翻转、移位、相乘相加

• 举个例子：

  • 若$h(n)=[1,2,3,4]$，即$h(n)=\delta(n)+2\delta(n-1)+3\delta(n-2)+4\delta(n-3)$

  • 若$x(n)=[1,1,1,1]$

  • 那么$y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)$，有：

    $$y(0)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(-m)\\ y(1)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(1-m)\\ y(2)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(2-m)\\ ......$$

  • 则可视化的运算如下：

    | | | | $x(n)$ | 1 | 1 | 1 | 1 | | | | |
    | ———— | —— | —— | ——— | —— | —— | —— | —— | —— | —— | —— | ————- |
    | $h(n)$ | 4 | 3 | 2 | 1 | | | | | | | $y(0)=1$ |
    | $h(1-n)$ | | 4 | 3 | 2 | 1 | | | | | | $y(1)=3$ |
    | $h(2-n)$ | | | 4 | 3 | 2 | 1 | | | | | $y(2)=6$ |
    | $h(3-n)$ | | | | 4 | 3 | 2 | 1 | | | | $y(3)=10$ |
    | $h(4-n)$ | | | | | 4 | 3 | 2 | 1 | | | $y(4)=9$ |
    | $h(5-n)$ | | | | | | 4 | 3 | 2 | 1 | | $y(5)=7$ |
    | $h(6-n)$ | | | | | | | 4 | 3 | 2 | 1 | $y(6)=4$ |

• 线性卷积的长度是$len[x(n)]+len[h(n)]-1$

2.MATLAB实现举例

• 特定的卷积核，对某些特定信号有的滤波作用

• 示例代码：

  clc;                      %清屏
  clear all;                %清变量
  
  fs=200;                   %采样频率为200Hz
  hn=ones(1,4);             %系统hn
  
  t=0:1/fs:1;               %时间序列
  xn1=sin(2*pi*50*t);       %50Hz正弦信号
  xn2=sin(2*pi*5*t);        %5Hz正弦信号
  xn=xn1+xn2;               %叠加信号
  
  yn=conv(xn,hn);           %卷积运算获得系统输出
  
  %绘图
  subplot(411);
  plot(t,xn1);title('50Hz正弦信号');
  subplot(412);
  plot(t,xn2);title('5Hz正弦信号');
  subplot(413);
  plot(t,xn);title('输入信号');
  subplot(414);
  plot(t,yn(1:length(xn)));title('输出信号');

• 结果如下：

  

  • 观察到输出信号中50Hz的正弦信号被滤除了

  • 其原因是采样频率200Hz是正弦信号50Hz的4倍，在一个周期内采样了4个点

    

  • 而这四个点正好对应这四个位置

    

  • 相当于是$0,1,0,-1,0,1,0,-1,…$这一串数接受$1,1,1,1$的检阅

    

    • 只有在起始和末尾绿色部分才会有值
    • 在中间红色部分滑动时是将滑窗中的4个数相加，和均为0

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Z变换

1.Z变换的定义

• 双边Z变换：

  $$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)Z^{-n}$$

• 单边Z变换：

  $$X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x(n)Z^{-n}\quad or\quad \sum_{n=-\infty}^{0}x(n)Z^{-n}$$

• 左边序列、右边序列、因果序列：

  • 左边序列：当$nN$时$x(n)$为0

  • 右边序列：当$n\ge N$时有非零值，而在$n<N$时$x(n)$为0

    • 若$N=0$，则称此序列为因果序列，即$x(n)=0,n<0$

  • 对于因果序列，有以下关系：

    $$因果序列\rightarrow |Z|>a$$

2.Z的收敛域

• 因为要求Z变换有解，所以需要满足：

  $$|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)Z^{-n}|<+\infty$$

• 等比数列求和公式：

  $$\frac{a_0-a_nq}{1-q}$$
  • 若想要其有界，需满足等比因子$|q|<1$

• 而Z的表达式其实是：

  $$Z=re^{jw}$$

• 那么：

  $$\begin{aligned} X(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)Z^{-n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)r^{-n}e^{-jwn} \end{aligned}$$

• 所以，求Z的收敛域主要看$r$

3.Z变换的常用性质

• 时移特性：

  $$x(n)\leftrightarrow X(z)\\ x(n-n_0)\leftrightarrow X(z)Z^{-n_0}$$

• 卷积特性：

  $$x_1(n)*x_2(n)\leftrightarrow X_1(z)\cdot X_2(z)$$

• 对于因果稳定的系统：

  • $H(Z)$的收敛域一定包括单位圆（稳定性）
  • $H(Z)$的所有极点一定在单位圆内（因为因果系统是$|Z|>a$，而又要求稳定，即收敛域需包含单位圆，故极点需在单位圆内，这样能使得$|Z|>极点,极点<1$）

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Reference

• 数字信号处理基本概念（已完结）_哔哩哔哩_bilibili