本节主要介绍了雷达信号的数学表示、模糊函数与雷达分辨率的关系、线性调频脉冲信号及其压缩处理、多脉冲积累的处理方法
雷达信号的数学表示
雷达的发射信号一般是除初相外其余参量均已知的确知信号
回波信号则是与噪声、干扰叠加的随机信号
信号可以用时间的实函数$s(t)$表示，称为实信号，其特点具有有限的能量或有限的功率
能量有限的信号称为能量信号，描述能量信号的频谱特性通常采用能量谱密度（ESD）函数
$$
|S(w)|^2 = |\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-jwt}dt|^2
$$- 其中$s(t)$代表信号
能量无限但功率有限的信号，称为功率信号，对于功率信号，功率谱密度（PSD）函数定义为：
$$
R_s(w) = \int_{-\infty}^{\infty}r_s(t)e^{-jwt}dt
$$- 其中$r_s(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s^*(\tau)s(t+\tau)d\tau$为信号$s(t)$的自相关函数
按照信号的频率组成，可将信号划分为低通信号（Low Pass）信号和带通（Band Pass）信号。通常所用的雷达信号，其带宽比载波小很多，称为窄带（通）信号
一个实带通信号可表示为：
$$
x(t) =a(t)cos(2\pi f_0t +\phi_x(t))
$$- 其中：$a(t)$为信号的幅度调制或包络，$\phi_x(t)$为相位调制项，$f_0$为载频
- 对于低分辨雷达，在一个波位上发射的多个脉冲的目标回波的包络$a(t)$通常近似认为不变
信号$x(t)$的频率调制函数$f_m(t)$和瞬时频率$f_i(t)$分别为：
$$
f_m(t) = \frac1{2\pi}\frac{d}{dt}\phi_x(t)
$$$$
f_i(t) = \frac1{2\pi}\frac d{dt}(2\pi f_0t + \phi_x(t)) = f_0 + f_m(t)
$$实信号具有对称的双边频谱
对于窄带信号来说，由于其带宽远小于载频，两个边带频谱互不重叠，此时用一个边带频谱就能完全确定信号波形。为了简化信号和系统的而分析，通常采用具有单边频谱的复信号
常用的复信号白哦是，即实信号的复信号表示有两种：希尔伯特（Hilbert）变换法和指数表示法，对于窄带信号来说，这两种表示方法是近似相同的
1. 希尔伯特（Hilbert）变换表示法
一般地，复信号可表示为：
$$
s(t) = x(t)+ jy(t)
$$- 如果要求复信号具有单边频谱，那么就要对虚部有所限制
如果实信号$x(t)\Leftrightarrow X(f)$（$X(f)$为信号$x(t)$的傅里叶变换），定义其复解析信号为：
$$
s_a(t)\Leftrightarrow S_a(f) = 2X(f)\cdot U(f)=\begin{cases}
2X(f),\quad f\ge 0\
0, \quad f<0\
\end{cases}
$$其中$U(f)$为频域的阶跃函数，利用傅里叶变换的性质可得：
$$
\begin{aligned}
s_a(t) &= 2(\frac12\delta(t) - \frac1{j2\pi t})\bigotimes x(t)\
&=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau-\frac1{j\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau\
&=x(t)+j\hat x(t)
\end{aligned}
$$- 其中，$\hat x(t) = \frac 1\pi \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau$为$x(t)$的Hilbert变换式
- 这样，复信号的频谱就可以满足使得原始实信号的负频分量相抵消，而正频分量加倍
实信号$x(t)$的能量和复解析信号$s_a(t)$的能量分别为：
$$
E = \int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^2df\
E_a = \int_{-\infty}^{\infty}|s_a(t)|^2dt = 2\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt = 2E
$$
2. 指数表示法
复解析信号在推导信号的一般特性时是有效的表示方式，但在分析具体信号时又极不方便，故常采用指数形式的复信号来代替复解析信号
实信号用指数形式的复信号实部表示为：
$$
\begin{aligned}
x(t) &= a(t)cos(2\pi f_0 t+\phi_x(t))\
&= Re[s_e(t)]\
&= \frac12[s_e(t)+s_e^*(t)]
\end{aligned}
$$- 其中，$s_e(t) = a(t)e^{j[2\pi f_0 t+\phi_xt]} = u(t)e^{j2\pi f_0 t}$为实信号的复指数形式，而$u(t) = a(t)e^{j\phi_x(t)}$为复信号的复包络
窄带实信号、复信号和复包络之间的关系：
模糊函数与雷达分辨率
1. 模糊函数
模糊函数最初是为了研究雷达分辨率而提出的，两个目标距离和速度上的差异是刚好可以用来相关函数模拟的，越相似相关函数越大，说明两个目标越难以区分
利用一对二维变量$(\tau, f_d)$来描述模糊函数，假设目标1和目标2的时延分别为$d$和$d+\tau$，多普勒频移分别为$f$和$f+f_d$，且功率相同
雷达的发射信号通常为窄带信号，用复信号可表示为：
$$
s_t(t) = u(t)e^{j2\pi f_0 t}
$$目标1的回波信号可表示为：
$$
s_{r1}(t) = u(t-d)e^{j2\pi (f_0+f) (t-d)}
$$则目标2的回波信号可表示为：
$$
s_{r2}(t) = s_{r1}(t-(d+\tau)) = u(t-(d+\tau))e^{j2\pi(f_0+(f+f_d))(t-(d+\tau))}
$$
在分析分辨力时，通常利用积分方差来描述，具体来说就是当积分方差越大时，两个目标就越好区分
$$
\varepsilon^2 = \int_{-\infty}^{\infty}|s_{r1}(t) -s_{r2}(t) |^2dt
$$- 设$y_1 = X_R + jX_I, y_2 = X_R’+jX_I’$
- $|y_1-y_2|^2 = X_R^2+X_R’^2-2X_RX_R’+X_I^2+X_I’^2-2X_IX_I’^2$
- 其中：$X_R^2+X_I^2 = |y_1|^2, X_R’^2+X_I’^2=|y_2|^2$
- $y_1y_2* = X_RX_R’-jX_RX_I’+jX_IX_R’+X_IX_I’$
- 故：$|y_1-y_2|^2 = |y_1|^2+|y_2|^2-2Re|y_1y_2^*|$
故积分方差为：
$$
\varepsilon^2 = 2\{2E-2Re[e^{-j2\pi(f_0+f)\tau}\int_{-\infty}^{\infty}u(t)u^*(t+\tau)e^{j2\pi f_d t}dt]\}
$$定义$\chi(\tau,f_d)$为：
$$
\chi(\tau,f_d)= \int_{-\infty}^{\infty}u(t)u^*(t+\tau)e^{j2\pi f_d t}dt
$$则模糊函数为：
$$
|\chi(\tau,f_d)|=|\int_{-\infty}^{\infty}u(t)u^*(t+\tau)e^{j2\pi f_d t}dt|
$$- $|\chi(\tau,f_d)|$式决定相邻目标距离-速度联合分辨率的唯一因素
- 有的文献也把$|\chi(\tau,f_d)|^2$当作模糊函数
由上述分析可得：
$$
\varepsilon^2 = 2\{2E-2Re[e^{j2\pi(f_0+f)\tau}\int_{-\infty}^{\infty}u(t)u^*(t+\tau)e^{j2\pi f_d t}dt]\}\ge2[2E-|\chi(\tau,f_d)|]\ge 0
$$故$|\chi(\tau, f_d)|$的最大值为$2E$，此时两个目标重叠在一起，距离和速度一样
那么就意味着$\tau = 0，f_d =0$，即：
$$
|\chi(\tau, f_d)|\le|\chi(0,0)| = 2E
$$能够引起$\varepsilon^2 $被滤波器检出，那么这两个目标也就可以分开了。如果保持不$f_d$变，最小的$\tau$值引起的$\varepsilon^2 $能被滤波器检出，此时$\tau$对应的就是距离分辨率。同理多普勒分辨率
2. 分辨率
2.1 距离分辨率
假设两个目标在同一角度但处在不同距离上，在不考虑相邻目标的多普勒频移（$f_d = 0$）时，有：
$$
\varepsilon^2\ge 2(2E-|\chi(\tau, 0)|)
$$此时，信号的距离模糊函数为：
$$
|\chi(\tau,0)|=|\int_{-\infty}^{\infty}u(t)u^*(t+\tau)dt|
$$当$\tau = 0$时，$|\chi(\tau,0)|$有最大值，距离分辨率由$|\chi(\tau,0)|^2$的大小来衡量
当$\tau\neq 0$时，$|\chi(\tau,0)|$随$\tau$增大而下降的越快，距离分辨性能越好
时延分辨率为：
$$
\Delta\tau = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}|\chi(\tau,0)|^2d\tau}{|\chi(0,0)|^2}
$$根据Parseval定理，上式可重写为：
$$
\Delta\tau = 2\pi\frac{\int_{-\infty}^{\infty}|U(w)|^4dw}{[\int_{-\infty}^{\infty}|U(w)|^2dw]^2}=\frac1B
$$$B$为信号的有效带宽
因此，时延分辨率对应的距离分辨率为：
$$
\Delta R = \frac{c\Delta\tau}{2}=\frac{c}{2B}
$$只要信号具有大的持续带宽就能获得高的距离分辨率，而不必具有很窄的脉冲宽度
2.2 速度分辨率
与距离分辨率类似，信号的速度分辨率取决于速度模糊函数：
$$
|\chi(0,f_d)|=\int_{-\infty}^{\infty}|u(t)|^2e^{j2\pi f_d t}dt
$$则多普勒分辨率$\Delta f_d$为：
$$
\Delta f_d = \frac{\int_{-\infty}^{\infty}|\chi(0,f_d)|^2d\tau}{|\chi(0,0)|^2}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}|u(t)|^4dt}{[\int_{-\infty}^{\infty}|u(t)|^2dt]^2}=\frac1{\tau’}
$$- 式中：$\tau’$是脉冲宽度
则相应的速度分辨率$\Delta v$为：
$$
\Delta v = \frac{c\Delta f_d}{2f_0} = \frac{c}{2f_0\tau’}=\frac{\lambda}{2\tau’}
$$
2.3 距离-速度联合分辨率
定义模糊面积$AA$作为距离-速度联合分辨常数：
$$
AA=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}|\chi(\tau,f_d)|^2d\tau df_d}{|\chi(0,0)|^2}
$$- 只要信号能量一定，模糊面积即为定值1
- 这就说明了时延和多普勒联合分辨率的限制，无论怎么使时延$\tau$或多普勒$f_d$分辨率的某一方减小，其结果都将带来另一方的增大，这就是雷达模糊原理
- 设计雷达信号时，只能在模糊原理的约束下通过改变模糊曲面的形状，使之与特定的目标环境相匹配
线性调频（LFM or Chirp）脉冲信号
线性调频信号是一种脉冲压缩信号，它是在匹配滤波理论的基础上提出的
这种信号的突出优点是匹配滤波器对回波信号的多普勒频率不敏感，即使回波信号有较大的多普勒频移，匹配滤波器仍能起到脉冲压缩的作用
线性调频矩形脉冲信号的表达式写为：
$$
s(t) = u(t)e^{j2\pi f_0 t} = \frac1{\sqrt{T}}rect(\frac t{\sqrt{T}}) e^{j(2\pi f_0 t+\pi \mu t^2)}
$$其中，信号的复包络为：
$$
u(t) =\frac1{\sqrt{T}}rect(\frac t{\sqrt{T}})e^{j\pi \mu t^2}
$$$$
rect(\frac t{\sqrt{T}}) = \begin{cases}
1,\quad |t|\le \frac T2\
0,\quad |t|> \frac T2\
\end{cases}\
$$- $T$为脉冲宽度，$\mu=\frac BT$为调频斜率，$B$为调频带宽，也称频偏
信号的瞬时频率为：
$$
f_i(t)=\frac1{2\pi}\frac d{dt}[2\pi f_0 t+\pi \mu t^2]=f_0+\mu t
$$
线性调频信号的频谱由信号的复包络完全决定
当$BT\gg1$时，信号95%以上的能量集中在$-\frac B2\sim \frac B2$的范围，频谱接近于矩形
线性调频脉冲信号的压缩处理
雷达系统为了满足提高探测距离和距离分辨率的双重要求，就要求采用大时宽 带宽 积 信号。脉冲压缩处理将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号，它既可以发射宽脉冲以提高平均功率和雷达的检测能力，又能保持窄脉冲的距离分辨率
假设雷达发射线性调频脉冲信号，可表示为：
$$
s_1(t)= rect(\frac{t}{T_e})cos(2\pi f_0 t + \pi \mu t^2)
$$式中，$rect(\frac{t}{T_e})=1,|t|\le \frac12 T_e$，$T_e$为发射脉冲宽度，$f_0$为中心载频，$\mu = \frac B{T_e}$为调频斜率，$B$为调频带宽
该信号的复包络及其离散信号（采样间隔为$T_s$)为：
$$
s(t)\approx rect(\frac{t}{T_e})e^{j\pi\mu t^2}
$$$$
s(n)\approx rect(\frac{nT_s}{T_e})e^{j\pi\mu(nT_s)^2}
$$
假设目标初始距离$R_0$对应的时延为$t_0$，即$t_0 = \frac{2R_0}{c}$，目标的径向速度为$v$，若不考虑幅度的衰减，则接收信号及其相对于发射信号的时延分别为：
$$
s_{r1}(t) = s_1(t-\Delta(t))
$$$$
\Delta(t) = t_0 = \frac{2v}{c}(t-t_0)
$$则有：
$$
s_{r1}(t) = s_1(t-t_0+\frac{2v}c(t-t_0))=s_1(\gamma(t-t_0))
$$
其中：
$$
\gamma = 1+\frac{2v}c
$$
这一部分暂时还没完全整明白，等整明白了再来记录
匹配滤波器的压缩比？？
为什么脉冲压缩对多普勒频率不敏感？
在频域和时域上的匹配滤波到底有个啥区别？
多脉冲积累的处理方法
1.多脉冲积累的概念
因为雷达单个脉冲的回波能量是有限的，通常不采用单个接收脉冲来进行检测判决
在判决之前，先对一个波位的多个脉冲串进行处理，以提高信噪比
这种基于多个脉冲串而非单个脉冲的处理方法称为积累
从时域上来说，积累是将一个波位内连续的M个重复周期同一距离单元的回波信号叠加起来（或加权叠加）
- 上述数据矩阵的横坐标为距离单元，由快时间采样得到；纵坐标为每个脉冲重复周期，在雷达中经常称其为慢时间采样
积累分相干积累和非相干积累：
- 相干积累是在包络检波器之前进行，利用接收脉冲之间的相位关系，可以获得信号幅度的叠加。这种积累起可以把所有的雷达回波能量直接相加
- 非相干积累是在包络检波以后进行，也称之为检波后积累或视频积累。由于信号在包络检波后失去了相位信息而只保留下幅度信息，所以检波后积累就不需要信号间有严格的相位关系，因此称为非相干积累
2.相干积累的处理方法
由于运动目标的回波包括多普勒频率$f_d$，当脉冲雷达的每个脉冲重复周期$T_r$相等，如果忽略目标回波的幅度起伏，则对目标所在距离单元的信号在每个$T_r$采样时，就可以看作是对频率为$f_d$的正弦波的采样，这时，第$i$个脉冲重复周期对目标的采样值可以表示为：
$$
x(i) = a \cdot exp(j2\pi f_d i T_r),i=0,1,…,M-1
$$- 式中$M$表示在一个波位（半功率波束宽度）内发射的脉冲数
- 若$M$不是2的幂，则通过补零到2的幂（即$N = 2^n \ge M$），因为相干累加通常采用$FFT$的处理方法实现
- 上图中包括$L$个距离单元，则需要进行$L$次$2^n$点的$FFT$处理
于是目标所在距离单元、所在多普勒通道的输出为：
$$
x(k) = a\frac{sin[\pi(f_dT_rN-k)]}{sin[\frac{\pi}{N}(f_dT_rN-k)]}e^{j\frac{N-1}{2}\frac{2\pi}{N}(f_d T_rN-k)}
$$- 上式只有当$f_d=\frac{k}{T_rN}=\frac{k}{N}f_r$时才出现峰值
相干积累的特点：
- $M$个脉冲进行相干积累的信噪比改善可以达到单个脉冲的$M$倍
- 也就是说，若要达到同样的检测性能，对单个脉冲的检测因子可以减低为$\frac1M$
- 因此，相干脉冲有利于降低发射功率或提高检测性能
