线性代数之二次型

本节主要介绍了二次型矩阵与二次型标准化的方法

二次型矩阵

• 二次型到矩阵表达式的方法：

  • 平方项的系数直接做成主对角线元素
  • 交叉项的系数除以2，放到两个对称的相应位置上

  

• 则$f(x_1,x_2,x_3)=X^TAX$，其中矩阵A则称为二次型矩阵

• 二次型的矩阵一定都是对称的：$A^T=A$

• 标准型：只有平方项

• 线性替换：

  $$f(x)=X^TAX(令X=CY)\\ =(CY)^TACY\\ =Y^T(C^TAC)Y$$

• $X=CY$称为线性替换，若使得$B=C^TAC$为对角形，那么线性替换后就变成以Y为变量的标准型

• 线性替换后矩阵仍是对称的

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二次型化标准型

1.配方法

2.初等变换法