本节主要介绍了矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵、矩阵可对角化的条件以及实对称矩阵的对角化

矩阵的特征值与特征向量

1.基本概念

A是n阶方阵，对于一个数$\lambda$，存在非零列向量，使得$A\alpha=\lambda\alpha$成立，那么$\lambda$为特征值，$\alpha$为对应$\lambda$的特征向量
$\lambda$可以为0，但特征向量不能为0向量
特征方程：$|\lambda E-A|=0$
- 通过求解特征方程计算$\lambda$，求出$\lambda$后带入$(\lambda E-A)\alpha=0$中求解齐次方程，而方程的基础解系就是特征向量
- 若能证明两个矩阵的$|\lambda E-A|$相等，那么就说明这两个矩阵有相同的特征值
$\lambda$是A的特征值，$\alpha$是$\lambda$对应的特征向量，则$c\alpha$也是$\lambda$的特征向量$(c\ne 0)$
一个特征向量只能对应一个特征值
若$\alpha_1,\alpha_2$是$\lambda$的特征向量，则$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2$也是$\lambda$的特征向量
上三角矩阵中，n阶对角线上的特征值就是主对角线上的n个元素

$A$和$A^T$有相同的特征值，但其特征向量不一定相同
若矩阵A有n个特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$，有：
- $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum_{i=1}^na_{ii}$：特征值相加等于主对角线元素相加
- $\lambda_1\lambda_2…\lambda_n=|A|$：特征值相乘等于矩阵的行列式
互不相同的特征值$\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m$对应的特征向量$\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_m$线性无关
k重特征根对应的特征向量个数$\le k$（单根对应的特征向量就为1）
$k\lambda$是$kA$的特征值
$\lambda^k$是$A^k$的特征值
若$\lambda$是$A$的特征值，则：
- $\frac{1}{\lambda}是$$A^{-1}$的特征值
- $\frac1{\lambda}|A|$是$A^*$的特征值

相似矩阵：若A、B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$成立，则说明$A\sim B$（A相似于B）
- $A\sim A$
- 若$A\sim B$，则$B \sim A$
- 若$A\sim B,B\sim C$，则$A\sim C$
相关性质：
- 若$A\sim B$，则$A、B$具有相同的特征值，且$|A|=|B|$，特征值之和相等
- 若$A\sim B$，则$A可逆\Leftrightarrow B可逆$，$A^{-1}\sim B^{-1}$
- 若$A\sim B$，则$A^m\sim B^m$

计算公式：
$$
||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)}
$$
其中(,)表示进行内积运算
单位化（标准化）：使得模值为1
$$
\frac1{||\alpha||}\alpha
$$
相关性质
- $||\alpha||\ge 0$
- $||\alpha||=0\Leftrightarrow \alpha=0$
- $||k\alpha||=|k|\cdot||\alpha||$
柯西-施瓦茨不等式：
$$
|(\alpha,\beta)|\le ||\alpha||\cdot||\beta||
$$
三角形不等式：
$$
||\alpha+\beta||\le ||\alpha||+||\beta||
$$

定义：A为n阶方阵，若满足$A^T A=E$，则A为正交矩阵
相关性质：
- 若A为正交矩阵，那么$|A|=1,or,-1$
- 若A为正交矩阵，那么$A^{-1}=A^T$，且$A^{-1}$和$A^T$均为正交矩阵
- 若A、B为正交矩阵，那么AB也为正交矩阵
- 若A为正交矩阵，$\alpha,\beta$为列向量，则$(A\alpha,A\beta)=(\alpha,\beta)$
相关定理：A为正交矩阵$\Leftrightarrow$A的列（行）向量组是标准正交向量组