0%

线性代数之线性方程组

本节主要介绍了非齐次线性方程与齐次线性方程的解法

线性方程组有解判定

  • 若由如下方程组:

  • 则系数矩阵为:

  • 增广矩阵为:

  • 在方程组中,通常用m表示方程个数,n表示未知量的个数

  • 是否有解的判断方式

    • 当$r(A)=r(\bar A)$时,方程组有解:
      • 若$r(A)=r(\bar A)=n$,则方程组有唯一解
      • 若$r(A)=r(\bar A)<n$,则方程组有无穷多解
    • 当$r(A)\ne r(\bar A)$时,方程组无解

齐次线性方程组

  • 方程组$Ax=b$中,向量$b$为0向量,即$Ax=0$则称为齐次线性方程组
  • 齐次线性方程组一定有解,至少有零解
  • 齐次线性方程组解的情况
    • 有唯一零解$\Leftrightarrow r(A)=n$
    • 有非零解$\Leftrightarrow r(A)<n$
    • 方程个数m<未知数个数n$\Leftrightarrow$有非零解
    • 方程个数=未知数个数,有非零解$\Leftrightarrow |A|=0$
  • 齐次方程中$Ax=0$,那么:
    • 若$\eta_1$和$\eta_2$是齐次方程组的解,那么$\eta_1+\eta_2$也是方程组的解
    • 若$\eta$是$Ax=0$的解,那么$c\eta$也是方程组的解

方程组解的结构

1.齐次线性方程的结构

  • 齐次方程的基础解系:$\eta_1,\eta_2,…,\eta_s$需满足如下条件

    • $\eta_1,\eta_2,…,\eta_s$线性无关
    • 任何解都可以由$\eta_1,\eta_2,…,\eta_s$表示

    image-20230810170229366

  • 基础解系的个数$=n-r(A)$

  • 若$A_{m\times n}B_{n\times s}=0_{m\times s}$,则$r(A)+r(B)\le n$

2.非齐次线性方程的结构

  • 对于非齐次线性方程组$Ax=b$:

    • 若$\alpha_1,\alpha_2$是$Ax=b$的解,$\alpha_1-\alpha_2$是$Ax=0$的解
    • 若$\alpha_0$是$Ax=b$的解,$\eta$是$Ax=0$的解,那么$\alpha_0+\eta$也是$Ax=b$的解
  • 非齐次线性方程解的结构=($Ax=b$的一个特解)+($Ax=0$的基础解系的线性组合)

    image-20230810173523688

欢迎来到ssy的世界