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线性代数之矩阵

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本节主要介绍了矩阵的基本概念、伴随矩阵、逆矩阵、分块矩阵、初等变换以及矩阵的秩

矩阵概念

  • 矩阵的定义：由一些数构成的$m\times n$的数表
    $$
    A_{m\times n} = \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\
    a_{21} & a_{21} & \dots & a_{2n}\
    \dots & \dots & \dots & \dots \
    a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 矩阵和行列式的区别：

    行列式 矩阵
    本质 一个数 数表
    符号 | | [ ]或( )
    形状 行数=列数，是方形 行数$\neq$列数（也可等）

  • 方阵：矩阵中若行数=列数，则称为n阶方阵$A_{n\times n},or,A_n$

  • 单位阵$E$：主对角线上的数均为1，其余均为0，单位阵一定是方阵

  • 同形矩阵：行列数均相等的矩阵，两个矩阵相等的前提必须是同形矩阵

矩阵运算

1.矩阵加减法

  • 矩阵的加减法：将两个矩阵中对应的元素相加减，必须是同形矩阵才能相加减

2.矩阵乘法

  • 矩阵的数乘运算：
    • 一个数乘以一个矩阵，是这个数乘以这个矩阵的所有元素
    • 矩阵所有元素均有公因子，这个公因子朝外提一次
  • 矩阵的乘法：
    • 前提条件：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数
    • 结果矩阵形状：结果矩阵的行数=第一个矩阵的行数，结果矩阵的列数=第二个矩阵的列数
    • 矩阵$AB\ne BA$，$AB$有意义时，$BA$不一定有意义
    • 矩阵$AB$相乘时，称$A$左乘$B$，$B$右乘$A$
    • 若$AB=0$，并不意味着$A=0,or,B=0$
    • 若$AB=AC，A\ne0$，并不意味着$B=C$
    • 与零矩阵相乘都等于0，但得注意必须是同形矩阵
    • 与单位阵$E$相乘：$AE=A，EB=B$
    • 结合率：$(AB)C=A(BC)$
    • 分配律：$(A+B)C=AC+BC\quad C(A+B)=CA+CB$

3.矩阵的幂

  • 矩阵的幂：

    • 求幂运算，A必须是方阵

    • $A^0=E$

    • $A^{k_1}A^{k_2}=A^{k_1+k_2}$

    • $(A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2}$

    • $(AB)^k\ne A^kB^k$

    • $(A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2$

    • $(A+E)^2=A^2+2AE+E^2$

  • 矩阵的转置：

    • 行列交换
    • 若$A_{m\times n}$，则$A^T=A_{n\times m}$
    • $((A)^T)^T=A$
    • $(A+B)^T=A^T+B^T$
    • $(kA)^T=kA^T$
    • $(AB)^T=B^TA^T$

特殊的矩阵

1.对角线矩阵

$$
diag(a_1,a_2,\dots,a_n) = \begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & \dots & 0\
0 & a_{21} & \dots & 0\
\dots & \dots & \dots & \dots \
0 & 0 & \dots & a_{mn}\
\end{bmatrix}
$$

  • 对一个矩阵，左乘对角形矩阵，其结果相当于矩阵中每行元素乘以对角形矩阵中的数
    $$
    \begin{bmatrix}
    k_1 & 0 & 0\
    0 & k_2 & 0\
    0 & 0 & k_3\
    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\
    2 & 2 & 2\
    8 & 8 & 8\
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    k_1 & 2k_1 & 3k_1\
    2k_2 & 2k_2 & 2k_2\
    8k_3 & 8k_3 & 8k_3\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 对一个矩阵，右乘对角形矩阵，其结果相当于矩阵中每列元素乘以对角形矩阵中的数
    $$
    \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3\
    2 & 2 & 2\
    8 & 8 & 8\
    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    k_1 & 0 & 0\
    0 & k_2 & 0\
    0 & 0 & k_3\
    \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
    k_1 & 2k_2 & 3k_3\
    2k_1 & 2k_2 & 2k_3\
    8k_1 & 8k_2 & 8k_3\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 对角形矩阵既是上三角矩阵又是下三角矩阵

2.对称矩阵

  • $a_{ij}=a_{ji}$：
    $$
    \begin{bmatrix}
    1 & 1 & -1\
    1 & 2 & 4\
    -1 & 4 & 3\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 若A、B是同阶对称，则：

    • $A^T=A，B^T=B$
    • $(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$
    • $(kA)^T=kA^T=kA$
    • $(AB)^T=B^TA^T=BA\neq AB$
    • 若AB的结果依旧是对称矩阵，则A、B是可交换的

  • 反对称矩阵：

    • 主对角线全为0，$a_{ij}=-a_{ji}$
      $$
      \begin{bmatrix}
      0 & 1 & -3\
      -1 & 0 & -4\
      3 & 4 & 0\
      \end{bmatrix}
      $$

  • $A^T=-A$

伴随矩阵

  • 方阵的行列式：
    $$
    方阵A=\begin{bmatrix}
    2 & 2 & 2\
    3 & 3 & 3\
    1 & 1 & 1\
    \end{bmatrix}\quad 行列式|A|=\begin{vmatrix}
    2 & 2 & 2\
    3 & 3 & 3\
    1 & 1 & 1\
    \end{vmatrix}
    $$

    • 方阵行列式的性质：
      • $|A^T|=|A|$
      • $|kA|=k^n|A|$
      • $|AB|=|A||B|$

  • 伴随矩阵：
    $$
    A=\begin{bmatrix}
    1 & 1 & 1\
    2 & 1 & 3\
    1 & 1 & 4\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 求所有元素的代数余子式
    $$
    A_{11}=1\quad A_{12}=-5\quad A_{13}=1\
    A_{21}=3\quad A_{22}=3\quad A_{23}=0\
    A_{31}=2\quad A_{32}=-1\quad A_{33}=-1
    $$

  • 按行求得代数余子式按列放，构成的矩阵$A^$为伴随矩阵
    $$
    A^    =\begin{bmatrix}
    1 & -3 & 2\
    -5 & 3 & -1\
    1 & 0 & -1\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 伴随矩阵的相关定理：

    • 对任意方阵A：$AA^=A^A=|A|E$
    • 若方阵$|A|\ne 0$，则$|A^*|=|A|^{n-1}$

逆矩阵

1.基本概念

  • 定义：若A是n阶方阵，且存在n阶方阵B，使得$AB=BA=E$，则A可逆，称B为A的逆矩阵，即$B=A^{-1}$
  • 相关性质：
    • 未必所有方阵均可逆
    • 若存在逆矩阵，那么逆矩阵唯一
  • 相关定理：A可逆的充要条件为$|A|\ne 0$，则此时$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
  • 推论：若A、B是n阶方阵，存在$AB=E(BA=E)$，则A可逆，且$A^{-1}=B$

2.逆矩阵性质

  • 若A可逆，那么$A^{-1}$也可逆，即$(A^{-1})^{-1}=A$
  • 若A、B均可逆，那么AB均可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
  • 若A可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$；若$k\ne 0$，则$(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}$
  • 若A可逆，则$|A^{-1}|=|A|^{-1}$
  • 若A可逆，则$A^$也可逆，且$(A^)^{-1}=\frac1{|A|}A$

分块矩阵

  • 标准形矩阵：从左上角开始的一串1，串中1不能间断，不一定是方阵
    $$
    A =\begin{bmatrix}
    1 & 0 & \dots & 0\
    0 & 1 & \dots & 0\
    \dots & \dots & \dots & \dots \
    0 & 0 & \dots & 0\
    \end{bmatrix}_{m\times n}=\begin{bmatrix}
    A_1 & A_2\
    A_3 & A_4
    \end{bmatrix}
    $$

  • 分块矩阵的乘法与基本矩阵乘法一致，前提是可乘

初等变换

  • 初等变换包括：

    • 交换两行（列）
    • 用$k(k\ne 0)$乘以某行（列）
    • 用某行（列）乘以一个数加到另一行（列）上去

  • 任给一个矩阵都可以通过初等变换化成标准形
    $$
    A =\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 1\
    -1 & -1 & 0\
    0 & 1 & 1\
    1 & 3 & 2\
    \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
    1 & 2 & 1\
    0 & 1 & 1\
    0 & 1 & 1\
    0 & 1 & 1\
    \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
    1 & 0 & -1\
    0 & 1 & 1\
    0 & 0 & 0\
    0 & 0 & 0\
    \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0\
    0 & 1 & 0\
    0 & 0 & 0\
    0 & 0 & 0\
    \end{bmatrix}
    $$

  • 等价：由矩阵A经初等变换得到B，即称A等价于B

    • 对称性：若A等价于B，则B也等价于A
    • 传递性：若A等价于B，B等价于C，则A也等价于C

1.初等方阵

  • 初等方阵：对单位阵E做一次初等变换得到的矩阵

    • 交换两行的初等方阵：$|E(i,j)|=-1$
    • 行乘以某数的初等方阵：$|E(i(k)|=k(k\ne 0)$
    • 行乘以某数加到某行的初等方阵：$|E(i,j(k))|=1$

  • 初等方阵的相关性质：

    • 初等方阵均可逆：
      $$
      E^{-1}(i,j)=E(i,j)\quad E^{-1}(i(k))=E(i(\frac1k))\quad E^{-1}(i,j(l))=E(i,j(-l))
      $$

    • 其逆矩阵和转置矩阵均为初等方阵

    • 若A可逆，那么其充分必要条件是A的标准形为E

    • 若A可逆，那么其充分必要条件是A=一些初等方阵的乘积

2.初行变换法求逆

  • 只做初等行变换，使得：
    $$
    (A,E)\rightarrow(E,A^{-1})
    $$
image-20230808151254781

矩阵的秩

  • 定义：非零子式的最高阶数，记$r(A)=r$
  • 有矩阵$A_{m\times n}$，则有$0\le r(A)\le min\{m,n\}$
    • 满秩：$r(A)= min\{m,n\}$
    • 降秩：$r(A)<min\{m,n\}$
  • 若A为方阵，有A满秩$\Leftrightarrow$A可逆
  • $r(A)=r\Leftrightarrow$有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0

1.阶梯形

  • 定义：

    • 若有零行，零行在非零的下边
    • 左起首非零元左边零个数随行数增加而严格增加

    $$
    A =\begin{bmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1\
    0 & 1 & 0 & 4\
    0 & 0 & 0 & 5\
    \end{bmatrix}
    $$

2.简化阶梯形

  • 非零行的首非零元是1
  • 首非零元所在列的其余元素是0

$$
A =\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 4\
0 & 1 & 0 & 5\
0 & 0 & 1 & 4\
0 & 0 & 0 & 0\
\end{bmatrix}
$$

3.秩相关的定理与性质

  • 初等变换不改变秩

  • r(A)=阶梯形非零行的行数

    image-20230808173850984

  • $r(A)=r(A^T)$

  • 任意矩阵乘以可逆矩阵，其秩不变

  • 有矩阵$A_{m\times n}$，P为m阶可逆方阵，Q为n阶可逆方阵
    $$
    r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
    $$

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