本节主要介绍了行列式的基本性质与相关定理
排列与对换
1.排列
排列:由1,2,……,n组成的一个有序数组(中间不能缺数),叫n级排列
n级排列的个数有:$n\times (n-1)\dots 3\times 2\times 1=n!$
逆序:大数排在小数的前面
逆序数:逆序的总数(从第一个数开始,数后面有几个比它小的)
如4213的逆序数$N(4213)=3+1=4$
逆序数为奇数为奇排列
- 逆序数为偶数为偶排列
标准(自然)排列:$N(1,2,3,\dots n)=0$
2.对换
- 交换一个排列中的两个数
- 对换一次,奇偶性改变一次
- n级排列中,奇排列和偶排列各占一半,即$\frac{n!}{2}$
n阶行列式
行列式的本质就是一个数
按行展开的定义:行标取标准排列,列标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n各元素相乘,符号由列标排列的奇偶性决定,奇数为负,偶数取正
按列展开的定义:列标取标准排列,行标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n各元素相乘,符号由行标排列的奇偶性决定,奇数为负,偶数取正
当矩阵即不按行也不按列展开时,其符号由行排列与列排列的奇偶性的和决定
行列式的性质
1.转置
- $D\rightarrow D^T$:行列交换
- $(D^T)^T=D$
- $D^T=D$:行列式转置后其值不变,对行成立的性质,对列也成立
2.互换
- 行列式中两行互换,值变号
- 两行(列)相等,$D=0$
3.公因数提取
某一行(列)都乘以k,等于用k乘以D
行列式所有元素,均有公因子k,则k外提n次
- 两行对应成比例,$D=0$
4.全零行
- 某一行(列)全为0,$D=0$
5.分解
行列式中某一行(列)是两个数相加,则是和的那一行分开,其余行保持不变
某一行(列)乘以一个数,加到另外一行(列)上去,D不变,即行列式的值不变
6.反对称行列式
- 奇数阶的反对称行列式$D=0$
行列式按行展开
1.余子式与代数余子式
假设有行列式:
则余子式:
则代数余子式:
相关定理:
- $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}$(按某一行展开)
- $D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}$(按某一列展开)
- 异乘变零定理:某一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0
2.拉普拉斯展开定理
k阶子式:取k行k列,重叠部分即为k阶子式
若有行列式:
取第1、2行与1、2列,则其2阶子式为:
余子式:取完k行k列后剩下的行列式
- 则余子式为:
代数余子式:在余子式的基础上乘以代数$(-1)^{取的行数和+列数和}$
- 则代数余子式为:
定理:取定k行,由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D(行列式的值)
范德蒙德行列式
Cramer法则
则:
则:
只适用于方程个数=未知量个数,且$D\neq 0$的情况
当方程组右侧的值均为0时,则称为齐次方程组
- 其至少有零解
- 若$D\neq 0$,则只有零解
- 齐次方程有非零解的充分必要条件是$D=0$