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线性代数之行列式

本节主要介绍了行列式的基本性质与相关定理

排列与对换

1.排列

  • 排列:由1,2,……,n组成的一个有序数组(中间不能缺数),叫n级排列

  • n级排列的个数有:$n\times (n-1)\dots 3\times 2\times 1=n!$

  • 逆序:大数排在小数的前面

  • 逆序数:逆序的总数(从第一个数开始,数后面有几个比它小的)

    • 如4213的逆序数$N(4213)=3+1=4$

    • 逆序数为奇数为奇排列

    • 逆序数为偶数为偶排列
  • 标准(自然)排列:$N(1,2,3,\dots n)=0$

2.对换

  • 交换一个排列中的两个数
  • 对换一次,奇偶性改变一次
  • n级排列中,奇排列和偶排列各占一半,即$\frac{n!}{2}$

n阶行列式

  • 行列式的本质就是一个数

  • 按行展开的定义标取标准排列,标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n各元素相乘,符号由列标排列的奇偶性决定,奇数为负,偶数取正

  • 按列展开的定义标取标准排列,标取排列的所有可能,从不同行不同列取出n各元素相乘,符号由行标排列的奇偶性决定,奇数为负,偶数取正

  • 当矩阵即不按行也不按列展开时,其符号由行排列与列排列的奇偶性的和决定


行列式的性质

1.转置

  • $D\rightarrow D^T$:行列交换
  • $(D^T)^T=D$
  • $D^T=D$:行列式转置后其值不变,对行成立的性质,对列也成立

2.互换

  • 行列式中两行互换,值变号
  • 两行(列)相等,$D=0$

3.公因数提取

  • 某一行(列)都乘以k,等于用k乘以D

  • 行列式所有元素,均有公因子k,则k外提n次

  • 两行对应成比例,$D=0$

4.全零行

  • 某一行(列)全为0,$D=0$

5.分解

  • 行列式中某一行(列)是两个数相加,则是和的那一行分开,其余行保持不变

  • 某一行(列)乘以一个数,加到另外一行(列)上去,D不变,即行列式的值不变

6.反对称行列式

  • 奇数阶的反对称行列式$D=0$

行列式按行展开

1.余子式与代数余子式

  • 假设有行列式:

  • 则余子式:

  • 则代数余子式:

  • 相关定理

    • $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}$(按某一行展开)
    • $D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}$(按某一列展开)
  • 异乘变零定理:某一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0

2.拉普拉斯展开定理

  • k阶子式:取k行k列,重叠部分即为k阶子式

    • 若有行列式:

    • 取第1、2行与1、2列,则其2阶子式为:

  • 余子式:取完k行k列后剩下的行列式

    • 则余子式为:
  • 代数余子式:在余子式的基础上乘以代数$(-1)^{取的行数和+列数和}$

    • 则代数余子式为:
  • 定理:取定k行,由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D(行列式的值)


范德蒙德行列式


Cramer法则

  • 则:

  • 则:

  • 只适用于方程个数=未知量个数,且$D\neq 0$的情况

  • 当方程组右侧的值均为0时,则称为齐次方程组

    • 其至少有零解
    • 若$D\neq 0$,则只有零解
    • 齐次方程有非零解的充分必要条件是$D=0$
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