本节主要介绍了行列式的基本性质与相关定理

排列与对换

1.排列

排列：由1，2，……，n组成的一个有序数组（中间不能缺数），叫n级排列
n级排列的个数有：$n\times (n-1)\dots 3\times 2\times 1=n!$
逆序：大数排在小数的前面
逆序数：逆序的总数（从第一个数开始，数后面有几个比它小的）
- 如4213的逆序数$N(4213)=3+1=4$
- 逆序数为奇数为奇排列
- 逆序数为偶数为偶排列
标准（自然）排列：$N(1,2,3,\dots n)=0$

2.对换

交换一个排列中的两个数
对换一次，奇偶性改变一次
n级排列中，奇排列和偶排列各占一半，即$\frac{n!}{2}$

n阶行列式

行列式的本质就是一个数
按行展开的定义：行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n各元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定，奇数为负，偶数取正
$$
下三角 = \begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & 0 &\dots & 0\
a_{21} & a_{22} & 0 &\dots & 0\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\
a_{n1} & a_{n2} & a_{a3} &\dots & a_{nn}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}(主对角元素相乘)
$$

$$
上三角 = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &\dots & a_{1n}\
0 & a_{22} &a_{23} & \dots & a_{2n} &\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\
0 & 0 & 0 &\dots & a_{nn}\
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}(主对角元素相乘)
$$
按列展开的定义：列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n各元素相乘，符号由行标排列的奇偶性决定，奇数为负，偶数取正
当矩阵即不按行也不按列展开时，其符号由行排列与列排列的奇偶性的和决定

行列式的性质

1.转置

$D\rightarrow D^T$：行列交换
$(D^T)^T=D$
$D^T=D$：行列式转置后其值不变，对行成立的性质，对列也成立

2.互换

行列式中两行互换，值变号
两行（列）相等，$D=0$

3.公因数提取

某一行（列）都乘以k，等于用k乘以D
行列式所有元素，均有公因子k，则k外提n次
两行对应成比例，$D=0$

4.全零行

某一行（列）全为0，$D=0$

5.分解

行列式中某一行（列）是两个数相加，则是和的那一行分开，其余行保持不变
某一行（列）乘以一个数，加到另外一行（列）上去，D不变，即行列式的值不变

6.反对称行列式

奇数阶的反对称行列式$D=0$
$$
\begin{vmatrix}
0 & a & b\
-a & 0 & c\
-b & -c & 0
\end{vmatrix}=0
$$

行列式按行展开

1.余子式与代数余子式

假设有行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & 3\
1 & 1 & 1 & 1\
2 & 2 & 3 & 4\
5 & 5 & 6 & 6
\end{vmatrix}
$$
则余子式：
$$
M_{32}=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 3\
1 & 1 & 1\
5 & 6 & 6
\end{vmatrix}
$$

$$
M_{14}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\
2 & 2 & 3\
5 & 5 & 6
\end{vmatrix}
$$
则代数余子式：
$$
A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}
1 & 0 & 3\
1 & 1 & 1\
5 & 6 & 6
\end{vmatrix}=(-1)^{3+2}M_{32}
$$

$$
A_{14}=(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\
2 & 2 & 3\
5 & 5 & 6
\end{vmatrix}=(-1)^{1+4}M_{14}
$$
相关定理：
- $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}$（按某一行展开）
- $D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}$（按某一列展开）
异乘变零定理：某一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0

2.拉普拉斯展开定理

k阶子式：取k行k列，重叠部分即为k阶子式
- 若有行列式：
  $$
  \begin{vmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4\
  1 & 1 & 2 & 5\
  1 & 1 & 0 & 8\
  9 & 9 & 9 & 10
  \end{vmatrix}
  $$
- 取第1、2行与1、2列，则其2阶子式为：
  $$
  \begin{vmatrix}
  1 & 2 \
  1 & 1
  \end{vmatrix}
  $$
余子式：取完k行k列后剩下的行列式
- 则余子式为：
  $$
  \begin{vmatrix}
  0 & 8 \
  9 & 10
  \end{vmatrix}
  $$
代数余子式：在余子式的基础上乘以代数$(-1)^{取的行数和+列数和}$
- 则代数余子式为：
  $$
  (-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}
  0 & 8 \
  9 & 10
  \end{vmatrix}
  $$
定理：取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D（行列式的值）
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 & 0\
3 & 4 & 0 & 0 & 0\
1 & 2 & 3 & 4 & 5\
1 & 1 & 1 & 1 & 1\
6 & 6 & 8 & 3 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1 & 2 \
3 & 4
\end{vmatrix}\times(-1)^{1+2+1+2}\times \begin{vmatrix}
3 & 4 & 5\
1 & 1 & 1\
8 & 3 & 1
\end{vmatrix}
$$

范德蒙德行列式

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \dots & 1\
x_1 & x_2 & x_3 & \dots& x_n\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\
x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \dots & x_n^{n-2}\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \dots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}=\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)
$$

Cramer法则

$$
\begin{cases}
\begin{aligned}
x_1 + x_2 + x_3 & = 1\
x_1 - x_2 + 5x_3 & = 6\
-x_1 + x_2 + 6x_3 & = 9
\end{aligned}
\end{cases}
$$

则：
$$
D=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\
1 & -1 & 5\
-1 & 1 & 6\
\end{vmatrix}\quad D_1=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\
6 & -1 & 5\
9 & 1 & 6\
\end{vmatrix}\quad D_2=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\
1 & 6 & 5\
-1 & 9 & 6\
\end{vmatrix}\quad D_3=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\
1 & -1 & 6\
-1 & 1 & 9\
\end{vmatrix}
$$
则：
$$
x_1=\frac{D_1}{D}\quad x_2=\frac{D_2}{D}\quad x_3=\frac{D_3}{D}
$$
只适用于方程个数=未知量个数，且$D\neq 0$的情况
当方程组右侧的值均为0时，则称为齐次方程组
- 其至少有零解
- 若$D\neq 0$，则只有零解
- 齐次方程有非零解的充分必要条件是$D=0$

ssy的小天地

线性代数之行列式