本文将分享一些信号处理中常见却难懂的小知识点，并推荐一些好的小文章

FS、FT、DTFT、DFS、DFT

$连续\Longleftrightarrow非周期$
$离散\Longleftrightarrow周期$
时域的离散造成频域的延拓（周期性），因而频域的离散也会造成时域的延拓（周期性）

1.FS

时域连续周期、频域离散非周期
傅里叶级数的指数形式：
$$
f(t)=\sum_{n=\infty}^\infty C_ne^{jnw_1t}
$$

$$
C_n=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-jnw_1t}dt
$$

2.FT

傅里叶变换的本质，即将一个信号拆分成不同频率的cos和sin分量的叠加。得到的是这些不同频率分量的幅值
时域连续非周期，频域连续非周期
傅里叶变换的公式：
$$
x(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jwt}dt
$$

$$
逆变换:x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x(w)e^{jwt}dw
$$

3.DTFT

一个N点离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）的频谱是以（$2\pi$）为周期进行延拓的连续函数
时域离散非周期，频域连续周期
离散时间傅里叶变换的公式：
$$
x(e^{jw})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-jwn}
$$

$$
逆变换:x(n)=\frac1{2\pi}\int_{2\pi}x(e^{jw})e^{jwn}dw
$$

4.DFS

当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析
时域离散周期，频域离散周期
离散傅里叶级数的公式：
$$
x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
$$

$$
x(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}Nkn}\quad k=0\sim N-1
$$

5.DFT

DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样
DFT只是为了计算机处理方便，在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已
一个N点离散时间信号可以用频域内一个N点序列来唯一确定，这就是DFT表达式所揭示的内容
DFT的本质是将离散的时域序列用有限个余弦波和正弦波合成。比如一个32点的时域序列，可以用17个余弦波和17个正弦波合成。17个余弦波的幅值就是频谱的实部，17个正弦波的幅值就是频谱的虚部
离散傅里叶变换的公式：
$$
x(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi k}Nn} \quad k=0\sim N-1
$$

$$
逆变换:x(n)=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}x(k)e^{j\frac{2\pi k}Nn}
$$

6.不同变换之间的示意图

7.Reference

FFT

1.频率分辨率

波形分辨率：由原始数据的时间长度决定
$$
\Delta R_w=\frac1T
$$
FFT分辨率：由采样频率和参与FFT的数据点数决定
$$
\Delta R_{fft}=\frac{F_s}{N_{fft}}
$$

2.FFT中的补零操作

补零相当于提高了FFT分辨率，但并不能提高波形分辨率，若不补零，那么波形分辨率与FFT分辨率是相等的
进行zero padding只是增加了数据的长度，而不是原信号的长度。并不能增加频谱分辨率，只相当于频域插值，具体解释如下：

本来信号是一个周期的余弦信号，如果补了9个周期长度的0，那么信号并不是10个周期的余弦信号，而是一个周期的余弦加一串0，补的0并没有带来新的信息。zero padding等价于频域的sinc函数内插，而这个sinc函数的形状（主瓣宽度）是由补0前的信号长度决定的，补0的作用只是细化了这个sinc函数，并没有改变其主瓣宽度。而频率分辨率的含义是两个频率不同的信号在频率上可分，也就要求它们不能落到一个sinc函数的主瓣上。所以，如果待分析的两个信号频率接近，而时域长度又较短，那么在频域上它们就落在一个sinc主瓣内了，补再多的0也是无济于事的。
补零前：
补零后：

3.加窗与窗函数

信号截断分为周期截断和非周期截断。周期截断是指截断后的信号为周期信号，而非周期截断是指截断后的信号不再是周期信号，哪怕原始信号本身是周期信号，周期信号最明显的特征是信号的起始和结束时刻的幅值相等，哪怕是一个周期
- 周期截断：
- 非周期截断：
由于信号的非周期截断，导致频谱在整个频带内发生了拖尾现象。这是非常严重的误差，称为泄漏
窗函数只能减少泄漏，不能消除泄漏
窗函数的时域特征：加窗实质是用一个所谓的窗函数与原始的时域信号作乘积的过程（当然加窗也可以在频域进行，但时域更为普遍），使得相乘后的信号似乎更好地满足傅立叶变换的周期性要求。为了减少泄漏，用一个窗函数与原始周期信号相乘，得到加窗后的信号为周期信号，从而满足FFT变换的周期性要求
窗函数的典型频谱特征：
- 主瓣宽度主要影响信号能量分布和频率分辨能力。频率的实际分辨能力为有效噪声带宽乘以频率分辨率，因此，主瓣越宽，有效噪声带宽越宽，在频率分辨率相同的情况下，频率的分辨能力越差
- 旁瓣高低及其衰减率影响能量泄漏程度（频谱拖尾效应）。旁瓣越高，说明能量泄漏越严重，衰减越慢，频谱拖尾越严重
加窗函数的原则：
- 加窗函数时，应使窗函数频谱的主瓣宽度应尽量窄，以获得高的频率分辨能力；旁瓣衰减应尽量大，以减少频谱拖尾，但通常都不能同时满足这两个要求
- 如果截断的信号仍为周期信号，则不存在泄漏，无须加窗，相当于加矩形窗。
- 如果信号是随机信号或者未知信号，或者有多个频率分量，测试关注的是频率点而非能量大小，建议选择汉宁窗
- 对于校准目的，则要求幅值精确，平顶窗是个不错的选择。
- 如果同时要求幅值精度和频率精度，可选择凯塞窗。
- 如果检测两个频率相近、幅值不同的信号，建议用布莱克曼窗。
- 锤击法试验力信号加力窗，响应可加指数窗。

4.Reference

2D-FFT

二维傅里叶变换的意义在于：一个满足一定条件的二维信号可以表示为无数个x向正余弦函数与y向正余弦函数乘积（即二维正交基）的线性组合
二维正交基：
$$
cos(2\pi ux)cos(2\pi vy)\
cos(2\pi ux)sin(2\pi vy)\
sin(2\pi ux)cos(2\pi vy)\
sin(2\pi ux)sin(2\pi vy)
$$
二维傅里叶变换具可分离性，即它可分离成两次一维傅里叶变换

1.计算流程

range-FFT：雷达处理接收天线接收回来的数据，对每一个接收回来的chirp做range-fft，然后range-fft处理后的数据按行存储到L3或DDR中，由于range-fft对应的频率与距离成正比，因此可以将x轴绘制为距离轴
doppler-FFT：在执行完range-fft之后，要在chirp index方向上做doppler-fft，做doppler-fft的时候，要将数据从L3或DDR内存中取出，然后再执行doppler-fft，由于dopper-fft对应离散角频率与速度成正比，因此可以将y轴绘制为速度轴。
通俗理解：range-FFT就是很正常的FFT求频率，而doppler-FFT可以理解为在频率确定的情况下，将相位（range-FFT结果中复数的角度）当成是变量，对其求FFT则可得到所求频率，这里的频率实际上就是想得到的相位角
对于雷达信号处理而言：速度维上所求的频率即为多普勒频率$f_d$，多普勒频率是由于速度$v$而导致的固定频率
$$
\because \Delta\Phi=\frac{4\pi vT_c}{\lambda}
$$

而$\Delta\Phi$其实又可以理解为：$\Delta\Phi$是由$f_d$造成的，因为多了$f_d$，导致在一个chirp周期$T_c$内，波形会多走$2\pi f_d T_c$弧度，即：
$$
\Delta\Phi=2\pi f_dT_c
$$
综合上述两式可以得到：
$$
v=\frac{\lambda f_d}{2}
$$
而由速度维FFT计算得到的频率正是$f_d$，故知道$f_d$后则乘以系数$\frac{\lambda}{2}$即可得到对应速度，速度维FFT结果的频率间隔为：$\frac{1}{T_cN_{chirp}}$
只有一个frame中的全部chirp做了range-fft之后才可以执行doppler-fft，因此系统中必须有足够的存储器来存储执行range-fft之后的数据

2.快时间与慢时间

3.Reference

数字域频率

数字域频率为：
$$
w_0=\Omega_0T_s=\frac{\Omega_0}{f_s}=2\pi\frac{f_0}{f_s}=\frac{2\pi}{N}
$$

$$
其中:\Omega_0为模拟角频率(rad/s),\quad w_0为数字角频率(rad)\
T_s为采样间隔(s),\quad f_s为采样频率(Hz),\quad f_0为模拟频率(Hz)\
N=T_0\times f_s,其中T_0为原始模拟信号的周期
$$
推导过程：
- 连续时间正弦信号：$x_a(t)=cos(\Omega_0t+\phi)$
- 令$t=nT$，$T$为采样间隔
- 则$x_a(t)|_{t=nT}=cos(\Omega nT+\phi)=x_a(nT)$
- 将$x_a(nT)$简记为$x(n)$
- $\Omega_0 T$记为$w_0$
- 则离散时间正弦序列为：$x(n)=cos(w_0n+\phi)$
个人理解：数字域频率为在复频域上每个点转动的平均角度

深入理解复数

1.复数的基本概念

$$ c=a+jb=Me^{j\phi}=M(cos\phi+jsin\phi) $$

将j看做是一个旋转因子：在复平面上任意数字乘以j，结果都是90度的逆时针旋转。乘以-j，就引起复平面上的90度顺时针旋转。
将这个复平面扩展成一个三维图像：$e^{j2πf_0t}$的实部和虚部就是正弦和余弦投影
欧拉等式：
$$
cos(2\pi f_0 t)=\frac{e^{j2\pi f_0t}+e^{-j2\pi f_0 t}}{2}=\frac{e^{j2\pi f_0t}}{2}+\frac{e^{-j2\pi f_0t}}{2}
$$

$$
sin(2\pi f_0 t)=\frac{e^{j2\pi f_0t}-e^{-j2\pi f_0 t}}{2j}=\frac{je^{-j2\pi f_0t}}{2}-\frac{je^{j2\pi f_0t}}{2}
$$

2.复数的频域特性

在复平面与频率轴构成的三维图像中：$cos(2\pi f_0t)$与$sin(2\pi f_0t)$的频域特性
$e^{j2\pi f_0t}=cos{(2\pi f_0t)+jsin(2\pi f_0t)}$的频域特性：
可以将正余弦波理解为从两个正交的通道中输入，即水平通道（实数方向）为输入的cos波，垂直通道（虚数方向）为输入的sin波，分别对这两个通道进行傅里叶变换，当对一个水平通道上的数乘以j时，则表示将数值逆时针旋转90°到垂直通道上
一个时域信号乘以复指数$e^{j2πf_0t}$，该信号的频谱将被向上搬移$f_0$Hz，这个过程我们叫做正交混频（quadrature mixing）（也叫做复调制complex mixing）。同样，一个时域信号乘以$e^{-j2πf_0t}$，将把信号频谱向下搬移$f_0$Hz。
实数的信号总是有正的和负的频谱分量，任何一个实数的信号，其同相（cos）频谱的正和负的频率分量总是以零频点为中心对称，同相（sin）分量的正和负的频率分量互为镜像
复数带宽是实数带宽的一半，其只保留正频部分