本节主要介绍了MATLAB中微积分的计算、线性方程与非线性方程的求解方法、以及常微分方程的求解。

数值微分与数值积分

1.数值微分的定义

函数在x0点处以h（h>0）为步长的差分公式：
当步长h充分小时，得到 MATLAB之图像绘制.md 函数在x0点处以h（h>0)为步长的差商公式：
函数f(x)在点x0的微分接近于函数在该点的差分，而f在点x的导数接近于函数在该点的差商

2.数值微分的实现

dx=diff(x) %计算向量x的向前差分，dx(i)=x(i+1)-x(i)
- 如果x是长度为 m 的向量，则 dx = diff(x) 返回长度为 m-1 的向量。dx的元素是x相邻元素之间的差分。
- dx = [X(2)-X(1) X(3)-X(2) … X(m)-X(m-1)]
dx=diff(x,n) %计算向量x的n阶向前差分，相当于将diff(x)重复调用了n次
dx=diff(A,n,dim) %计算矩阵A的n阶差分

3.数值积分的定义

将积分区间[a,b]分成n个子区间[$x_i$,$x_{i+1}$],i=1,2,……,n，其中$x_1$=a；$x_{n+1}$=b，这样求定积分问题就分解为：

4.数值积分的实现

基于自适应辛普森方法
- [I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
- tol用来控制绝对误差容限，默认取$10^{-6}$
- trace控制是否展现积分过程，取0则不展示（默认）
- 返回参数I即定积分的值，n为被积函数的调用次数
基于自适应Gauss-Lobatto方法
- [I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)
基于全局自适应积分方法（MATLAB推荐使用）
- I=integral(filename,a,b)
- I是计算得到的积分，filename是被积函数
- a和b分别是定积分的下限和上限
- 积分限可以为无穷大，Inf表示无穷大
多重积分的数值求解
- 二重积分
  - I=integral2(filename,a,b,c,d)
  - I=quad2d(filename,a,b,c,d)
  - I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)
- 三重积分
  - I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)
  - I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)

线性方程组求解

1.直接法

利用左除运算符的直接解法
- Ax=b ——> x=A\b
利用矩阵分解求解——LU解法
- LU分解的基本思想：将一个n阶矩阵表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。可以首先求解向量y使Ly=b，再求解Ux=y
- 求解函数：
  - [L,U]=lu(A) %产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L，使之满足A=LU，A必须是方阵
  - [L,U,P]=lu(A) %PA=LU，A必须是方阵

2.迭代法

雅可比（Jacobi）迭代法

基本思想：

函数编写

%雅可比迭代法的函数文件jacobi.m：
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep) %x0是初值，ep是误差
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=ep
    x0=y;
    y=B*x0+f;
    n=n+1;
end

高斯-赛德尔（Gauss-Serdel）迭代法

基本思想：

函数编写

%Gauss-Serdel迭代法的函数文件
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,ep)
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1); 
U=-triu(A,1);
B=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
y=B*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=ep
    x0=y;
    y=B*x0+f;
    n=n+1;
end

调用：

非线性方程求解与函数极值计算

1.非线性方程数值求解

单变量非线性方程求解
- x=fzero(filename,x0) %x0是初值
非线性方程组的求解
- x=fsolve(filename,x0,option)
- x为返回的解的近似解，x0是初值
- opton用于设置优化工具箱的优化参数，可以调用optimset函数来完成

2.函数极值的计算

无约束最优化问题
- [xmin,fmin]=fminbnd(filename,x1,x2,option)
- [xmin,fmin]=fminsearch(filename,x0,option)
- [xmin,fmin]=fminunc(filename,x0,option)
- x1、x2分别表示被研究区间的左、右边界；后两个函数的输入变量x0是一个向量，表示极值点的初值
有约束最优化问题
- [xmin,fmin]=fmincon(filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,ub,nonlcon,options)
- 其中的限制条件为：nonlcon为函数句柄，接受向量或数组 x，并返回两个数组 c(x) 和 ceq(x)。
  - c(x) 是由 x 处的非线性不等式约束组成的数组。fmincon 尝试满足
    
    对于 c 的所有项，有 c(x) <= 0。
  - ceq(x) 是 x 处的非线性等式约束的数组。fmincon 尝试满足
    
    对于 ceq 的所有项，有 ceq(x) = 0。